密码学承诺之原理和应用 - Kate多项式承诺

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简介

多项式承诺是一种实用性比较强的密码学承诺方案,允许一个方(承诺者)向另一个方(验证者)承诺一个多项式的值,而不泄露多项式的具体形式。在零知识证明、可验证密码共享等领域有广泛应用,常见的多项式承诺有Kate多项式承诺、FRI多项式承诺,IPA多项式承诺等。本文将重点介绍Kate多项式承诺的构造和应用。

在阅读下文之前,了解基础的密码学承诺原理和应用是非常有必要的,读者可以参考以下几篇文章:
《密码学承诺之原理和应用 - 概览》
《密码学承诺zhi原理和应用 - Sigma承诺》
《密码学承诺之原理和应用 - Pedersen承诺》

前言

多项式

在详细介绍Kate多项式承诺之前,我们先来简单介绍一下多项式的基本概念。多项式一般表示为:

\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_dx^d = \sum_{i=0}^{d}a_ix^i \]

上述多项式中,\(a_0, a_1, a_2, ..., a_d\)多项式系数\(x\)是多项式的变量,\(d\)是多项式的次数(或多项式的度)。多项式的次数是指多项式中最高次幂的指数,例如上述多项式的次数为\(t\),因此上述\(f(x)\)我们也称作d次多项式。多项式系数\(a_0, a_1, a_2, ..., a_d\)是多项式的重要组成部分,它们决定了多项式的形状和性质,也是需要保护的重要信息。

多项式的值是指将变量x代入多项式后的结果,例如\(f(\beta)\)表示将\(x=\beta\)代入多项式中,计算出的结果。

多项式的根是指多项式的值为0的点,即\(f(x) = 0\)的点。

多项式有两个重要的性质:

  • 一元n次多项式最多有n个根,假设根为\(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_d\),则多项式可以表示为:\(f(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)...(x-\beta_d)\)
  • 商多项式,多项式减去在某一个点的多项式值(如点:<\(a, f(a)\)>), 可以被另一个多项式整除,这个多项式称为商多项式。商多项式表示为\(h(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

注:在零知识证明中,通常会将要证明的问题转化为多项式表达,并通过多项式与商多项式的等式关系来进行证明。

双线性映射

在多项式承诺验证中,会用到双线性映射的概念。双线性映射(Bilinear Map)是数学中一种重要的映射,尤其在密码学和数论中有广泛的应用。它是一种特殊的函数,具有以下性质:

定义

\(G\)是一个乘法循环群, \(g\)是一个生成元, \(G_T\)是另一个群。一个映射\(e: G \times G \rightarrow G_T\)被称为双线性映射,如果满足以下条件:

  • 双线性:对于任意的\(a, b \in Z_p\)\(g, h \in G\),有\(e(g^a, h^b) = e(g, h)^{ab}\)
  • 非退化性:对于任意的\(g \in G\)\(e(g, g) \neq 1\)
  • 可计算性:对于任意的\(g, h \in G\)\(e(g, h)\)可以在多项式时间内计算

重要性质

  • 可交换性:对于任意的\(g, h \in G\)\(e(g, h) = e(h, g)\)
  • 分配性:对于任意的\(g, h1, h2 \in G\)\(e(g, h1 \cdot h2) = e(g, h1) \cdot e(g, h2)\)
  • \(e(g, g)为G_T\)的一个生成元

多项式承诺

多项式承诺主要流程如下:

  • [00] Setup初始化阶段:承诺者和验证者共享公共参考串CRS
    • CRS:common reference string,是一个公开的字符串,一般通过可信的第三方生成,用于多项式承诺的构造
  • [01] Commit承诺阶段:承诺者计算多项式承诺\(C = Commit(CRS, f(α))\),并发送\(C\)给验证者。
    • C的计算依赖于多项式\(f(x)\)和公共参考串CRS
    • 注在多项式承诺中,多项式的度需要满足\(d \leq t\),其中\(t\)是公共参考串中的最高幂次
  • [02] Open打开阶段:承诺者揭示多项式\(f(x)\)
    • f(x)是多项式的具体形式,承诺者直接揭示多项式\(f(x)\),如多项式参数和系数
  • [03] VerifyPoly验证阶段:验证者重新计算多项式承诺\(C^{'} = Commit(CRS, f(α))\)
    • 验证者重新计算多项式承诺\(C^{'}\),并验证\(C^{'}\)\(C\)是否相等

以上方式的多项式承诺打开阶段是明文揭示,即承诺者直接揭示多项式\(f(x)\),验证者重新计算多项式承诺\(C^{'} = Commit(CRS, f(x))\),并验证\(C^{'}\)\(C\)是否相等。
明文揭示的方式简单直接,但存在以下问题:

  • 多项式阶数较高时,明文揭示的方式会导致通信量较大
  • 明文揭示的方式无法保护多项式,必须公开

Kate多项式承诺

为了解决明文揭示多项式承诺存在的问题,Kate多项式承诺基于多项式点打开的方式,实现了多项式的承诺和验证。点打开方式指的是承诺者不直接揭示多项式\(f(x)\),而是揭示多项式在某个点的值\(f(β)\),并提供一个witness证明,验证者通过双线性映射验证多项式在β点的值是否正确。通过点打开的方式,Kate多项式承诺解决了明文揭示的问题,同时保护了多项式的隐私。

Kate多项式承诺的构造一般有两种方案,两种方案在安全性上有所不同:

  • 计算隐藏的Kate多项式承诺:承诺的值在计算上是隐藏的,意味着对于任何多项式时间的攻击者,无法有效区分两个不同的承诺。换句话说,攻击者在计算上无法从承诺中推断出承诺的内容。
  • 无条件隐藏的Kate多项式承诺:承诺的值在计算上是无条件隐藏的,意味着对于任何攻击者,无法从承诺中推断出承诺的内容。

定义上比较抽象,简单来说就是无条件隐藏通过引入随机性,使得承诺的值在计算上无法被推断出来,而计算隐藏仅使用离散对数困难性假设,使得承诺的值在计算上无法被推断出来。

计算隐藏的Kate多项式承诺

计算隐藏的Kate多项式承诺的构造如下:

[00] Setup初始化阶段

Kate多项式承诺需要初始化阶段,主要是生成和公开CRS,以及双线性映射\(e: G \times G \rightarrow G_T\)。在Kate多项式承诺中CRS如下:

\[CRS = (G, g^α, g^{α^2}, ..., g^{α^t}) \]

其中,\(G\)代表乘法群,\(g\)\(G\)的一个生成元,\(α\)是一个随机数,\(t\)是最高幂次。注:在零知识证明中,\(α\)是一个私密的值,不会公开,需要被安全销毁(通常被称为有毒废料)。

注:在Kate论文中,CRS被叫做PK,即公钥。

[01] Commit承诺阶段

承诺者计算多项式的承诺值\(C = Commit(CRS, f(x))\),并发送\(C\)给验证者。多项式的承诺值计算方式如下:

\[C = g^{f(α)} = g^{\sum_{i=0}^{d}{a_iα^i}} = \prod_{i=0}^{d}g^{a_iα^i} = \prod_{i=0}^{d}{(g^{α^i})^{a_i}} \]

  • \(a_i\)是多项式的系数, 承诺者已知
  • CRS是公共参考串,CRS中包含了\(g^{α^i}\)的值,因此承诺者可以在不知道\(α\)的情况下计算\(C\)

[02] CreateWitness点打开阶段

承诺者计算多项式在某个点的值\(f(β)\),并提供一个witness证明\(w\),其中\(w\)是多项式在β点的承诺,计算方式如下:

  • 首先计算商多项式

\[φ(x) = \frac{f(x) - f(β)}{x - β} = \sum_{i=0}^{d-1}b_ix^i \]

  • 计算\(f(x)\)在β点的值

\[f(β) = \sum_{i=0}^{d}a_iβ^i \]

  • 计算商多项式在α点的承诺值

\[w = Commit(CRS, φ(x)) = g^{φ(α)} = g^{\sum_{i=0}^{d-1}{b_iα^i}} = \prod_{i=0}^{d-1}g^{b_iα^i} = \prod_{i=0}^{d-1}{(g^{α^i})^{b_i}} \]

承诺者将\((β, f(β), w)\)发送给验证者。

[03] VerifyEval点验证阶段

验证者使用双线性映射验证多项式在β点的打开值是否正确,验证方式如下:

\[e(C, g) \stackrel{?}{=} e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} \]

正确性验证:

\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} = e(g^{φ(α)}, g^{α-β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+f(β)} \]

根据商多项式的定义,有:\(f(α) - f(β) = φ(α) \cdot (α-β)\),因此:

\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} = e(g,g)^{f(α)-f(β)+f(β)} = e(g,g)^{f(α)} = e(g^{f(α)}, g) = e(C, g) \]

因此,\(e(C, g) = e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)}\),验证通过。

无条件隐藏的Kate多项式承诺

无条件隐藏的Kate多项式承诺构造与计算隐藏的Kate多项式承诺流程类似,区别在于:

  • 初始化阶段的CRS不同
  • 承诺值的生成和验证方式不同(承诺值生成基于Pedersen承诺)

初始化阶段

CRS的构造如下:

\[CRS = (G, g^α, g^{α^2}, ..., g^{α^t}, h, h^α, h^{α^2}, ..., h^{α^t}) \]

其中,\(h\)\(G\)的另一个生成元。

Commit承诺阶段

承诺者计算多项式的承诺值\(C = Commit(CRS, f(x))\),计算方式如下:

\[C = g^{f(α)} \cdot h^{\hat{f(α)}} f(α) = \sum_{i=0}^{d}{a_iα^i} \hat{f(α)} = \sum_{i=0}^{d}{b_iα^i} = \prod_{i=0}^{d}{(g^{α^i})^{a_i}} \cdot \prod_{i=0}^{d}{(h^{α^i})^{b_i}} \]

CreateWitness点打开阶段

承诺者计算多项式在某个点的值\(f(β)\),并提供一个witness证明\(w\),计算方式如下:

  • 计算商多项式

\[φ(x) = \frac{f(x) - f(β)}{x - β} \hat{φ(x)} = \frac{\hat{f(x)} - \hat{f(β)}}{x - β} \]

  • 计算点打开值

\[w = Commit(CRS, φ(x)) \cdot Commit(CRS, \hat{φ(x)}) = g^{φ(α)} \cdot h^{\hat{φ(α)}} \]

\(g^{φ(α)}\)\(h^{\hat{φ(α)}}\)计算方式基于CRS(方式与上文相同,略),承诺者将\((β, f(β), \hat{f(β)}, w)\)发送给验证者。

VerifyEval点验证阶段

验证者使用双线性映射验证多项式在β点的打开值是否正确,验证方式如下:

\[e(C, g) \stackrel{?}{=} e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) \]

正确性验证:

\(h\)\(G\)中的一个群元素,因此不是一般性可设\(h = g^\lambda\),其中\(\lambda\)是一个随机数。因此:

\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) = e(g^{φ(α)} \cdot h^{\hat{φ(α)}}, g^{α-β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) = e(g^{φ(α)+\lambda\hat{φ(α)}}, g^{α-β}) \cdot e(g^{f(β)+\lambda\hat{f(β)}}, g) = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+\lambda\hat{φ(α)} \cdot (α-β) + f(β) + \lambda\hat{f(β)}} = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+ f(β) + \lambda \cdot(\hat{φ(α)} \cdot (α-β) + \hat{f(β)})} \]

根据商多项式的定义,有:\(f(α) - f(β) = φ(α) \cdot (α-β)\)\(\hat{f(α)} - \hat{f(β)} = \hat{φ(α)} \cdot (α-β)\),因此:

\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+ f(β) + \lambda \cdot(\hat{φ(α)} \cdot (α-β) + \hat{f(β)})} = e(g,g)^{f(α) - f(β)+ f(β) + \lambda \cdot(\hat{f(α)} - \hat{f(β)} + \hat{f(β)})} = e(g,g)^{f(α) + \lambda \cdot \hat{f(α)}} = e(g^{f(α)} \cdot g^{\lambda \cdot \hat{f(α)}}, g) = e(g^{f(α)} \cdot h^{\hat{f(α)}}, g) = e(C, g) \]

因此,\(e(C, g) = e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g)\),验证通过。

结语

Kate多项式承诺是一种实用性比较强的多项式承诺方案,通过点打开的方式,可以在保护多项式隐私的同时,有效减少通信量。Kate多项式承诺在零知识证明、可验证密码共享等领域有广泛应用。了解Kate多项式承诺的原理和构造,对于学习zk-snarks、zk-starks等零知识证明协议是非常有帮助的。通过本文的介绍,希望读者能够对Kate多项式承诺有一个初步的了解,并为进一步学习零知识证明协议打下基础。

参考文献

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